第二節(jié) 離散趨勢指標

離散（dispersion）趨勢指標指的是計量資料所有觀察值偏離中心位置的程度（measures of variation）。描述離散趨勢的主要統(tǒng)計指標有全距（range，R）、方差（variance）、標準差（standard deviation）、變異系數(shù)（coefficient of variation）等。
一、全距
全距又稱極差，以符號R表示。R等于一個變量的所有觀察值中最大值（maximum，Max）與最小值（miximum，Max）之間的差值。計算公式為（368）：R=Max-Max。當計算計量單位相同的變量時，全距越大，觀察值的離散程度越大。
如一組燒傷病人的最大燒傷面積為90%TBSA，最小面積為10%TBSA，按公式（368）計算，R=90-10=80%TBSA。
二、方差
方差是離均差平方和的平均值，方差的大小只與觀察值離散程度有關(guān)，而與觀察值個數(shù)的多少無關(guān)。樣本方差以符號S2表示，是總體方差的估計值，按公式（369）計算：

式中∑（X-X）2為離均差平方和， n-1為自由度（n′）。因總體方差不易得到，實際工作中常用樣本方差作為總體方差的估計。
方差多用于方差分析或兩個樣本標準差合并計算之用。如甲組25人，標準差為28，乙組46人，標準差為22，兩組合并標準差公式為（369）：

三、 標準差
根據(jù)上述見解，全距系指一組變量值中最大值與最小值的差；標準差則表示這一組變量值分布的離散程度。為進一步說明其離散程度，試看下面這兩組數(shù)據(jù)：
A組：80、90、100、110、120（平均數(shù)=100）
B組：98、99、100、101、102（平均數(shù)=100）
這兩組數(shù)值的均數(shù)都是100，但是變量值的波動范圍卻有很大差別，A組數(shù)據(jù)最大值與最小值之差（全距）為40(120～80)，B組數(shù)據(jù)最大值與最小值之差（全距）為4(102～98)。由此可見，A組數(shù)據(jù)的波動范圍比B組大得多。故均數(shù)不能完全說明事物內(nèi)部的實質(zhì)，需要用標準差來綜合分析。目前認為反映數(shù)據(jù)精確度較為完善的指標就是標準差。
又如：甲組5例病人的燒傷總面積分別為90%、80%、70%、21%、9%TBSA，平均為54%TBSA；乙組5例病人的燒傷總面積分別為100%、49%、49%、36%、36%TBSA，平均值也為54%TBSA，但甲組特重度病人有3例，乙組僅有1例。兩組均值雖然相等，但并無同質(zhì)性和可比性，同時也可看出標準差的重要性。因為標準差是一個個體數(shù)據(jù)偶然性波動大小的標準尺度，標準差大，表示個體數(shù)據(jù)波動性大，標準差小，表示個體數(shù)據(jù)波動性小。
四、標準差計算
1直接計算公式（3610）：

S為標準差，∑Χ2為變量值平方后的和，（∑x）2是變量值總和后的平方，n為變量個數(shù)。
示例365：測得9例創(chuàng)面出血病人的血小板數(shù)量分別為：30、50、40、40、50、40、30、50、149（×109/L），求它們的標準差。
【解題步驟】
先分別求出公式（3610）中的∑Χ2和（∑Χ）2/n，及n-1值，然后代入公式。
因為∑Χ2為變量值平方后的和，即：
∑Χ2=302+502+402+402+502+402+302+502+1492=36301
［（∑Χ）2］/n=（30+50+40+40+50+40+30+50+149）2/9=254934
（n-1）為（9-1）=8
代入公式（3610），得：

答：9例創(chuàng)面出血病人的血小板標準差為36755×109/L。
2大樣本加權(quán)法公式
計算大樣本資料，應(yīng)繪制頻數(shù)表資料，根據(jù)公式（3611）計算標準差：

式中∑fX為各組段X與本組段頻數(shù)乘積之和，∑fΧ2為各組段fx與本組段X乘積之和。
示例366仍以例362為例，即某院調(diào)查了110例特重度燒傷病人的血液血紅蛋白含量，其濃度范圍在115～150 g/L之間，求其標準差。
【解題步驟】
根據(jù)表362中提供的數(shù)據(jù)，將(∑f)=110、(∑fX)=13194、(∑fΧ2)=1584990代入公式（3611），得：

結(jié)果：110例燒傷病人的血紅蛋白標準差為472g/L。
五、變異系數(shù)
在統(tǒng)計學(xué)上將變量值間的差異稱為變異，表明這種變異的指標有全距、標準差和變異系數(shù)。如上所述，標準差的作用是用來確定兩組數(shù)據(jù)的波動程度，一般情況下，哪一個標準差大，哪一組的數(shù)據(jù)波動范圍也大；哪一個標準差小，其波動范圍也小。但是，當比較不同類型的數(shù)據(jù)時，如身長與體重，或兩個平均數(shù)相差較大時，若直接用標準差判斷它們的波動程度就不妥當了，因為標準差只能反映絕對波動大小，不能反映相對波動大小。這種表達相對數(shù)波動大小的指數(shù)稱為變異系數(shù)，用cv或ν表示。該指標也可理解為用百分比表示的標準差，即標準差（s）與均數(shù)（X）之比。其公式為（3612）：

示例367某院調(diào)查了7歲男孩身高均數(shù)為12116cm，標準差為431cm，胸圍均數(shù)5771cm，標準差為282cm。比較兩者的變異程度。
【解題步驟】
根據(jù)公式（3612），分別求身長變異系數(shù)和胸圍變異系數(shù)：

答：本例身長均數(shù)明顯大于胸圍均數(shù)，若與標準差直接比較，胸圍的變異系數(shù)似乎小于身長，但經(jīng)過變異系數(shù)計算，結(jié)論為胸圍的變異程度并不比身長變異程度小。由此可見，身長的變異程度比胸圍穩(wěn)定。
六、標準誤
因為均數(shù)的標準誤與樣本標準差相似，都是說明離散程度的指標，故在此作一介紹。變異系數(shù)均數(shù)標準誤有兩種，一種是總體標準誤，一種是樣本標準誤?？傮w標準誤（σx）和樣本標準誤（sx、SE、SEM）是表示均數(shù)誤差程度的指標。在醫(yī)學(xué)研究中，常在總體中抽出一部分作為樣本，然后再根據(jù)樣本的觀察結(jié)果推論總體情況。但是，由于在同一總體中的個體之間必然存在著差異（如同是50%TBSA燒傷），樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間存在差異，各個樣本均數(shù)之間必然產(chǎn)生差異，謂之標準誤（sx），是由抽樣引起的。標準誤越小，說明樣本均數(shù)與總體均數(shù)越接近，用樣本均數(shù)推論總體均數(shù)的可能性越大；反之，標準誤越大，說明用樣本均數(shù)推論總體均數(shù)的可能性越小。故均數(shù)標準誤是測定樣本均數(shù)變異范圍的尺度。在醫(yī)學(xué)資料中，常用樣本均數(shù)±標準誤的形式（x±sx）表示資料的可靠程度。一般來說，在x±1×sx的范圍內(nèi)，總體均數(shù)出現(xiàn)的概率為683%；在x±2×sx的范圍內(nèi)，總體均數(shù)出現(xiàn)的概率為95%，或者說有95%以上的把握可認為總體均數(shù)在這個范圍之內(nèi)，也可認為重復(fù)同樣實驗100次，得出100個均數(shù)，會有95%以上的均數(shù)分布在x±2×sx的范圍內(nèi)。公式（3613）為：

sx為標準誤，s為樣本標準差，n為樣本個數(shù)。
示例368某院抽查了100例病人的血液紅細胞數(shù)量，其樣本均值為50×109/L，樣本標準差為246×109/L，求其標準誤。
【解題步驟】
根據(jù)公式（3613），求得：

答：本例樣本標準誤為0246（×109/L），資料的可靠程度為50±0246（×109/L）。
七、平均數(shù)、標準差、標準誤的應(yīng)用
1表示正常范圍如體溫、脈搏，血壓，紅細胞，白細胞等正常值等計算均需要標準差的參與。正常值范圍一般是以平均數(shù)±2個標準差作為劃定界限，現(xiàn)以紅細胞為例說明這個問題。如我們所求得的健康男子紅細胞平均值為50×109/L，標準差為25×109/L，則正常男子紅細胞的正常值可定為50±2×25，即45×109/L～55×109/L范圍內(nèi)。但應(yīng)注意，在應(yīng)用此方法時，變量的分布必須是正態(tài)分布，如屬于非正態(tài)分布者，應(yīng)采取其他方法計算。
2估計受試對象所需樣本數(shù)
（1）利用標準誤公式推算樣本數(shù)：
示例369某醫(yī)院測定了80名嚴重?zé)齻颊咴缙谘杭◆–r）含量，測定結(jié)果：均數(shù)（x）=1548μmmol/L，標準差(s)=158μmmol/L ，標準誤=1778μmmol/L， 即目前95%的置信限為1548±354μmmol/L ，欲求95%的置信限在158±20μmmol/L的范圍內(nèi)，需要觀察多少例才能出現(xiàn)這種結(jié)果?
【解題步驟】
①根據(jù)標準誤計算公式(3613)推算樣本數(shù)（n），公式為(3614)：

②因為95%的置信限為x±2×sx，今求2×sx=20，即sx=10。把有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（3614），得：

③結(jié)論：若把觀察人數(shù)增加到250人，可能使置信限范圍達到1548±20μmol/L 。
（2）利用兩合并標準差推算樣本數(shù)：
示例3510某醫(yī)生用某藥治療粒細胞減少癥，為觀察某藥物用口服方法及肌肉注射方法對最高療效出現(xiàn)時間(天)的影響。根據(jù)預(yù)備試驗結(jié)果，口服法最高療效出現(xiàn)的平均時間為222天，肌肉注射法為175天，合并標準差(s)為1391天。問各組需觀察多少例才能使兩組均數(shù)的差異有顯著意義?   
【解題步驟】
①本例是兩個樣本平均數(shù)作比較的資料，當兩組樣本相等時，其樣本大小的估計公式為（3615）：

 n=每組例數(shù)，t005=表中查出的標準值，s=合并標準差，x1-x2=兩組均數(shù)差。
②當n≥30時，查表得出t005=20，因x1-x2=475，s=1391，代入公式（3615）：

③結(jié)論：每組需要觀察69例才能使兩組均數(shù)差異有顯著意義。